Artikel ini membahas salah satu bahan probabilitas dan juga statistika matematika yakni mengenai distribusi binomial
Pengertian Distribusi Binomial
Dalam satistika matematika, distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial didapatkan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial yakni sebuah distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang berisikan dua peristiwa yang berkomplemen, menyerupai sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor.
Ciri-ciri Distribusi Binomial
- Setiap percobaan cuma memiliki dua peristiwa, menyerupai ya-tidak, sukses-gagal.
- Probabilitas sebuah peristiwa yakni tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.
- Percobaannya bersifat independen atau dengan pengembalian, artinya peristiwa dari sebuah percobaan tidak mensugesti atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.
- Jumlah atau banyaknya percobaan yang ialah komponen percobaan binomial mesti tertentu.
Contoh:
Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan opsi berganda, setiap pertanyaan memiliki satu balasan benar. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi 5 balasan benar maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah:
- Untuk menjawab benar, $P\left ( B \right )=\frac{1}{5}$
- Untuk menjawab salah, $P\left ( S \right )=\frac{4}{5}$
Misalkan susunan 5 balasan benar yakni B B B B B S maka:
$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( S \right )$
$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{4}{5}$
$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\text{ }\left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$
Kemungkinan lain susunan 5 balasan benar yakni B B B S B B, sehingga:
$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( S \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )$
$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{4}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}$
$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\text{ }\left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$
Ternyata, probabilitas 5 balasan benar dari 6 pertanyaan yakni sama untuk susunan mana pun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah sanggup dicari dengan menggunakan rumus kombinasi.
\[C_{x}^{n}=\frac{n!}{x!\left ( n-x \right )!}\]
Untuk urusan di atas, memiliki $n=6$, $x=5$, sehingga terdapat:
$C_{5}^{6}=\frac{6!}{5!\left ( 6-5 \right )!}$
$C_{5}^{6}=6$ susunan
Jika semua susunan tersebut dituliskan, akan terlihat:
- B B B B B S
- B B B B S B
- B B B S B B
- B B S B B B
- B S B B B B
- S B B B B B
Untuk menyeleksi probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar $\left ( P\left ( 5 \right ) \right )$ yakni dengan menjumlahkan probabilitas dari variasi banyaknya susunan balasan benar, $C_{5}^{6}=6$ susunan. Karena probabilitas setiap susunan yakni sama maka probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar $\left ( P\left ( 5 \right ) \right )$ sanggup pula dijumlah dengan mengalikan $C_{5}^{6}$ dengan probabilitas salah satu susunannya.
Jadi:
$P\left ( 5 \right )=C_{5}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$
$P\left ( 5 \right )=0,0015$
Dengan melakukan cara yang serupa menyerupai di atas, untuk menjumlah probabilitas menjawab dengan balasan benar maka sanggup dibentuk distribusi binomial, dari peristiwa di atas.
$P\left ( 6 \right )=C_{6}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{6}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{0}$
$P\left ( 6 \right )=0,0001$
$P\left ( 4 \right )=C_{4}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{4}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{2}$
$P\left ( 4 \right )=0,0154$
Dan seterusnya . . .
Dari perkiraan di atas maka sanggup dibentuk tabel distribusi binomial dengan balasan benar, yaitu:
| Jumlah Jawaban Benar (x) | P(x) |
|---|---|
| 0 | 0,2621 |
| 1 | 0,3932 |
| 2 | 0,2458 |
| 3 | 0,0819 |
| 4 | 0,0154 |
| 5 | 0,0015 |
| 6 | 0,0001 |
| Jumlah | 1,0000 |
Rumus Distribusi Binomial
a. Rumus binomial sebuah peristiwa
Secara lazim rumus probabilitas binomial sebuah peristiwa dituliskan:
$P\left ( X=x \right )=b\left ( x;n,p \right )=C_{x}^{n}\times p^{x}\times q^{n-x}$
Keterangan:
$x$ = banyaknya peristiwa sukses
$n$ = banyak percobaan
$p$ = probabilitas peristiwa berhasil
$q$ = $1-p$ = probabilitas peristiwa gagal
Catatan: Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda mesti sanggup menetapkan mana peristiwa SUKSES dan mana peristiwa GAGAL. Anda sanggup menetapkan bahwa peristiwa yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan yakni = kejadian SUKSES.
b. Contoh soal:
- Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut!
- Mata dadu 5 timbul 1 kali.
- Mata dadu genap timbul 2 kali.
- Mata dadu 2 atau 6 timbul sebanyak 4 kali.
Penyelesaian:- Karena dadu memiliki 6 sisi, yakni 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap segi memiliki probabilitas $\frac{1}{6}$. Jadi, probabilitas untuk mata 5 yakni $\frac{1}{6}$, sehingga:
- Mata dadu genap ada 3, yakni 2, 4, 6, sehingga:
- Muncul mata dadu 2 atau 6 $\left ( \text{ada 2} \right )$, sehingga:
$p=\frac{1}{6}$; $q=\frac{5}{6}$, $n=4$, $x=1$ [muncul 1 kali]$P\left ( X=1 \right )=C_{1}^{4}\times p^{1}\times q^{4-1}$$P\left ( X=1 \right )=4\times \left ( \frac{1}{6} \right )^{1}\times \left ( \frac{5}{6} \right )^{3}$$P\left ( X=1 \right )=0,3858$
$p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $q=\frac{1}{2}$, $n=4$, $x=2$ [muncul 2 kali]$P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{4}\times p^{2}\times q^{4-2}$$P\left ( X=2 \right )=6\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$$P\left ( X=2 \right )=0,3750$
$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$; $q=\frac{2}{3}$, $n=4$, $x=4$ [muncul 4 kali]$P\left ( X=4 \right )=C_{4}^{4}\times p^{4}\times q^{4-4}$$P\left ( X=4 \right )=1\times \left ( \frac{1}{3} \right )^{4}\times \left ( \frac{2}{3} \right )^{0}$$P\left ( X=4 \right )=0,0123$ - Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat:
- dua rusak,
- tidak ada yang rusak?
Penyelesaian:$n=10$; $p=5%=0,05$; $q=0,95$- Dua rusak, $x=2$
- Tidak ada yang rusak, $x=0$
$P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{10}\times p^{2}\times q^{10-2}$$P\left ( X=2 \right )=45\times \left ( 0,05 \right )^{2}\times \left ( 0,95 \right )^{8}$$P\left ( X=2 \right )=0,075$
$P\left ( X=0 \right )=C_{0}^{10}\times p^{0}\times q^{10-0}$$P\left ( X=0 \right )=1\times \left ( 0,05 \right )^{0}\times \left ( 0,95 \right )^{10}$$P\left ( X=0 \right )=0,599$
Demikian saja bahan tentang Distribusi Binomial, biar bermanfaat. Jika teman-teman memerlukan file .pdf-nya silahkan download lewat link berikut:
Distribusi Binomial from