Titik kumpul merupakan titik di mana disekitarnya banyak titik lain yang akrab dengan dirinya. Dalam kajian lain titik kumpul biasa dinamakan dengan titik limit. Mungkin senada dengan perumpamaan mean, modus, dan median dalam statistika.
Himpunan Titik pada Persekitaran
Defenisi:
a. Titik $x\in R$ merupakan titik kumpul dari $S\subseteq R$, jika untuk setiap $\varepsilon > 0$, persekitaran $\varepsilon$ dari $x$ menampung paling sedikit satu anggota $S$ yang berlawanan dari $x$.
Notasi:
$x\in R\wedge S\subseteq R$
$x \text{ Clp S}\Leftrightarrow \left ( \forall x> 0 \right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( x \right ) \cap S\right )-\left \{ x \right \} \right ]\neq \varnothing $
b. Titik $x\in R$ merupakan titik kumpul dari $S\subseteq R$, jika untuk setiap $n\in N$ terdapat $S_{n}$ anggota $S$ sedemikian sampai $0< \left | x-S_{n} \right |< \frac{1}{n}$ .
Notasi:
$x\in R\wedge S\subseteq R$
$x \text{ Clp S}\Leftrightarrow \left ( \forall n> N \right )\left ( \exists S_{n}\in S \right ) \ni 0< \left | x-S_{n} \right |< \frac{1}{n} $
Contoh 1:
Ditentukan $S = (0,1)$. Tunjukkan bahwa $\frac{1}{2}$ cluster point dari $S$.
Penyelesaian:
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$
$V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$
Harus dicari $y\in S$ dengan $y\neq \frac{1}{2}$, tetapi $y\in \left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$
- Jika $\varepsilon > \frac{1}{2}$ , maka $(0,1)\subseteq \left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$Berarti $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap (0,1)=(0,1)$Jadi, $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap (0,1)-\left \{ \frac{1}{2} \right \}=\varnothing $
- Jika $\varepsilon \leq \frac{1}{2}$, maka $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$Ambil $y=\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon }{2}$, maka $y\in V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )$ dan $y\neq \frac{1}{2}$, $y\in S$Karena $y\in \left ( V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap S \right )-\left \{ \frac{1}{2} \right \}$, maka $\left ( V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap S \right )-\left \{ \frac{1}{2} \right \}\neq \varnothing $
Dari (i) dan (ii) ditarik kesimpulan bahwa $\frac{1}{2}$ cluster point $S$.
Contoh 2:
Misalkan $S=\left \{ x\in R\mid x\leq 2 \right \}$. Tunjukkan bahwa $2\in R$ titik kumpul dari $S$.
Notasi: $\left ( \forall _{\varepsilon } > 0\right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S \right )-\left \{ 2 \right \} \right ]\neq \varnothing $.
Bukti:
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$
$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )=\left ( 2-\varepsilon ,2+\varepsilon \right )$
$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S=\left ( 2-\varepsilon ,2+\varepsilon \right )\cap \left ( -\infty ,2 \right )=\left ( 2-\varepsilon ,2 \right )$
$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S-\left \{ 2 \right \}=\left ( 2-\varepsilon ,2 \right )-\left \{ 2 \right \}\neq \varnothing $ alasannya merupakan $\left ( \exists t\in \left ( 2-\varepsilon ,2 \right ),t=2-\frac{1}{2}\varepsilon \right )$ tetapi $t\neq 2$
$\therefore \left ( \forall \varepsilon > 0 \right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S \right )-\left \{ 2 \right \} \right ]\neq \varnothing $
$\therefore 2\text{ Clp S}$
Barangkali Anda juga mencari bahan berikut: