Artikel ini membahas salah satu bahan mata kuliah jadwal studi matematika yakni mata kuliah Aljabar Elementer. Adapun judul bahan yang dibahas yakni Persamaan Eksponen (Pangkat), Fungsi Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen
Silahkan klik daftar isi berikut untuk mengakses judul bahan dengan cepat.
Persamaan Eksponen
Pengertian Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen yakni persamaan yang bilangan pokok atau pangkatnya menampung variabel x.
Contoh
a. $9^{x-5}=\frac{1}{27}\sqrt{3}$
b. $\left ( x+5 \right )^{3x}=\left ( x+5 \right )^{x+1}$
b. $\left ( x+5 \right )^{3x}=\left ( x+5 \right )^{x+1}$
Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Rasional
Berikut yakni sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat, yaitu:
1. Jika a > 0 dan m, n bilangan rasional, maka:
a. $a^{m}\ \times\ a^{n}\ =\ a^{m+n}$
Perkalian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama, pangkat dijumlahkan.
Perkalian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama, pangkat dijumlahkan.
b. $a^{m}\ :\ a^{n}\ =\ \frac{a^{m}}{a^{n}}\ =\ a^{m-n}$
Pembagian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama, pangkat dikurangkan.
Pembagian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok (basis) sama, pangkat dikurangkan.
c. $\left ( a^{m} \right )^{n}\ =\ a^{m\times n}$
Perpangkatan bilangan berpangkat, pangkat dikalikan.
Perpangkatan bilangan berpangkat, pangkat dikalikan.
2. Jika a > 0, b > 0 dan m bilangan rasional, maka:
a. $\left ( a\times b \right )^{m}\ =\ a^{m}\ \times\ b^{m}$
Pangkat dari perkalian bilangan yakni hasil kali pangkat masing-masing bilangan.
Pangkat dari perkalian bilangan yakni hasil kali pangkat masing-masing bilangan.
b. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\ =\ \left ( \frac{a^{m}}{b^{m}} \right )$
Pangkat dari pembagian bilangan yakni hasil bagi pangkat masing-masing bilangan.
Pangkat dari pembagian bilangan yakni hasil bagi pangkat masing-masing bilangan.
3. Jika $a\neq 0$, maka $a^{0}=1$
Bukti: dari sifat $a^{m}\ :\ a^{n}\ =\ \frac{a^{m}}{a^{n}}\ =\ a^{m-n}$
$2^{4}\ :\ 2^{2}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{2}}\ =\ \frac{16}{4}\ =\ 4\\ 2^{4}\ :\ 2^{2}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{4}}\ =\ \frac{16}{16}\ =\ 1\\ 2^{4}\ :\ 2^{4}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{4}}\ =\ 2^{4-4}\ =\ 2^{0} =\ 1$
$2^{4}\ :\ 2^{2}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{2}}\ =\ \frac{16}{4}\ =\ 4\\ 2^{4}\ :\ 2^{2}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{4}}\ =\ \frac{16}{16}\ =\ 1\\ 2^{4}\ :\ 2^{4}\ =\ \frac{2^{4}}{2^{4}}\ =\ 2^{4-4}\ =\ 2^{0} =\ 1$
4. Jika a > 0 dan m bilangan rasional, maka $a^{-m}\ =\ \frac{1}{a^{m}}$
5. Jika m, n bilangan bulat, n > 1 serta $\frac{m}{n}$ bilangan rasional, maka $a^{\frac{m}{n}}\ =\ \sqrt[n]{a^{m}}$
Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen berupa $a^{f\left ( x \right )}\ =\ 1$
Himpunan solusi dari persamaan eksponen $a^{f\left ( x \right )}\ =\ 1$, sanggup diputuskan dengan sifat berikut.
Jika $a> 0,\ a\neq 1$ dan $a^{f\left ( x \right )}\ =\ 1$, maka $f\left ( x \right )\ =\ 0$
Contoh
Tentukan himpunan solusi dari persamaan eksponen berikut.
a. $3^{2x-1}\ =\ 1$
b. $5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 1$
a. $3^{2x-1}\ =\ 1$
b. $5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 1$
Jawab
a. $3^{2x-1}\ =\ 1$
$\Leftrightarrow\ 3^{2x-1}\ =\ 3^{0}\\ \Leftrightarrow\ 2x-1=0\\ \Leftrightarrow\ 2x=1\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ \frac{1}{2} \right \}$
$\Leftrightarrow\ 3^{2x-1}\ =\ 3^{0}\\ \Leftrightarrow\ 2x-1=0\\ \Leftrightarrow\ 2x=1\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{1}{2}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ \frac{1}{2} \right \}$
b. $5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 1$
$5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 5^{0}\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+3x-10=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+5 \right )\left ( x-2 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=-5$ atau $x=2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -5,2 \right \}$
$5^{x^{2}+3x-10}\ =\ 5^{0}\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+3x-10=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+5 \right )\left ( x-2 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=-5$ atau $x=2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -5,2 \right \}$
Persamaan eksponen berupa $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{p}$
Himpunan solusi dari persamaan eksponen $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{p}$, sanggup diputuskan dengan sifat berikut.
Jika $a> 0,\ a\neq 1$ dan $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{p}$, maka $f\left ( x \right )\ =\ p$
Contoh
Tentukan himpunan solusi dari persamaan eksponen berikut.
a. $2^{x^{2}-5x}\ =\ 2^{6}$
b. $9^{x-6}\ =\ \frac{1}{27}\sqrt{3}$
a. $2^{x^{2}-5x}\ =\ 2^{6}$
b. $9^{x-6}\ =\ \frac{1}{27}\sqrt{3}$
Jawab
a. $2^{x^{2}-5x}\ =\ 2^{6}$
$\Leftrightarrow\ x^{2}-5x\ =\ 6\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-5x-6=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-6 \right )\left ( x+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=6$ atau $x=-1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -1,6 \right \}$
$\Leftrightarrow\ x^{2}-5x\ =\ 6\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-5x-6=0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-6 \right )\left ( x+1 \right )=0$
$\Leftrightarrow\ x=6$ atau $x=-1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -1,6 \right \}$
b. $9^{x-6}\ =\ \frac{1}{27}\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 3^{2} \right )^{x-6}\ =\ \frac{1}{3^{3}}\ \times\ 3^{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x-12}\ =\ 3^{-3}\ \times\ 3^{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x-12}\ =\ 3^{-\frac{5}{2}}$
$\Leftrightarrow\ 2x-12=-\frac{5}{2}\\ \Leftrightarrow\ 4x-24=-5\\ \Leftrightarrow\ 4x=19\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{19}{4}\ =\ 4\frac{3}{4}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ 4\frac{3}{4} \right \}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 3^{2} \right )^{x-6}\ =\ \frac{1}{3^{3}}\ \times\ 3^{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x-12}\ =\ 3^{-3}\ \times\ 3^{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x-12}\ =\ 3^{-\frac{5}{2}}$
$\Leftrightarrow\ 2x-12=-\frac{5}{2}\\ \Leftrightarrow\ 4x-24=-5\\ \Leftrightarrow\ 4x=19\\ \Leftrightarrow\ x=\frac{19}{4}\ =\ 4\frac{3}{4}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ 4\frac{3}{4} \right \}$
Persamaan eksponen berupa $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{g\left ( x \right )}$
Himpunan solusi dari persamaan eksponen $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{g\left ( x \right )}$, sanggup diputuskan dengan sifat berikut.
Jika $a> 0,\ a\neq 1$ dan $a^{f\left ( x \right )}\ =\ a^{g\left ( x \right )}$, maka $f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right )$
Contoh
Tentukan himpunan solusi dari persamaan eksponen berikut.
a. $27^{2x-5}\ =\ 243^{x-4}$
b. $25^{x^{2}+2}\ =\ 125^{2x^{2}-x+1}$
a. $27^{2x-5}\ =\ 243^{x-4}$
b. $25^{x^{2}+2}\ =\ 125^{2x^{2}-x+1}$
Jawab
a. $27^{2x-5}\ =\ 243^{x-4}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 3^{3} \right )^{2x-5}\ =\ \left ( 3^{5} \right )^{x-4}\\ \Leftrightarrow\ 3^{6x-15}\ =\ 3^{5x-20}\\ \Leftrightarrow\ 6x-15\ =\ 5x-20\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ -5 $
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -5 \right \}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 3^{3} \right )^{2x-5}\ =\ \left ( 3^{5} \right )^{x-4}\\ \Leftrightarrow\ 3^{6x-15}\ =\ 3^{5x-20}\\ \Leftrightarrow\ 6x-15\ =\ 5x-20\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ -5 $
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -5 \right \}$
b. $25^{x^{2}+2}\ =\ 125^{2x^{2}-x+1}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 5^{2} \right )^{x^{2}+2}\ =\ \left ( 5^{3} \right )^{2x^{2}-x+1}\\ \Leftrightarrow\ 5^{2x^{2}+4}\ =\ 5^{6x^{2}-3x+3}\\ \Leftrightarrow\ 2x^{2}+4\ =\ 6x^{2}-3x+3\\ \Leftrightarrow\ 6x^{2}-2x^{2}-3x+3-4\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 4x^{2}-3x-1\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( 4x+1 \right )\left ( x-1 \right )\ =\ 0$
$\Leftrightarrow\ x\ =\ -\frac{1}{4}$ atau $x\ =\ 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -\frac{1}{4}, 1 \right \}$
$\Leftrightarrow\ \left ( 5^{2} \right )^{x^{2}+2}\ =\ \left ( 5^{3} \right )^{2x^{2}-x+1}\\ \Leftrightarrow\ 5^{2x^{2}+4}\ =\ 5^{6x^{2}-3x+3}\\ \Leftrightarrow\ 2x^{2}+4\ =\ 6x^{2}-3x+3\\ \Leftrightarrow\ 6x^{2}-2x^{2}-3x+3-4\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 4x^{2}-3x-1\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( 4x+1 \right )\left ( x-1 \right )\ =\ 0$
$\Leftrightarrow\ x\ =\ -\frac{1}{4}$ atau $x\ =\ 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya: $\left \{ -\frac{1}{4}, 1 \right \}$
Persamaan eksponen berupa $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}\ =\ h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$
Himpunan solusi dari persamaan eksponen $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}\ =\ h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$, dimana $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ sebuah fungsi aljabar, sanggup diputuskan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu:
a. Persamaan berlaku jikalau pangkatnya sama $\left ( f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right ) \right )$
b. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok $h\left ( x \right )\ =\ 1$, lantaran $1^{f\left ( x \right )}\ =\ 1^{g\left ( x \right )}$
c. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok $h\left ( x \right )\ =\ -1$, dengan syarat $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ keduanya bernilai genap atau $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ keduanya bernilai ganjil
d. Persamaan berlaku untuk bilangan pokok $h\left ( x \right )\ =\ 0$, dengan syarat $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ keduanya bernilai positif
Contoh
Tentukan himpunan solusi dari persamaan eksponen berikut.
$\left ( x^{2}-9x+19 \right )^{2x+3}\ =\ \left ( x^{2}-9x+19 \right )^{x-1}$
$\left ( x^{2}-9x+19 \right )^{2x+3}\ =\ \left ( x^{2}-9x+19 \right )^{x-1}$
Jawab
Himpunan solusi dari persamaan eksponen itu diputuskan dengan memperhatikan kemungkinan berikut.
a. $f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right )\\ \Leftrightarrow\ 2x+3\ =\ x-1\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ -4$
b. $h\left ( x \right )\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+19\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+18\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-6 \right )\left ( x-3 \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 6\ atau\ x\ =\ 3$
c. $h\left ( x \right )\ =\ -1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+19\ =\ -1\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+20\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x-5 \right )\left ( x-4 \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 5\ atau\ x\ =\ 4$
Kedua nilai $x$ ini mesti diuji dengan mensubstitusikan ke dalam $\left ( f\left ( x \right )\ =\ g\left ( x \right ) \right )$
Untuk $x\ =\ 5$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( 5 \right )\ =\ 2\left ( 5 \right )+3\ =\ 13$ (ganjil)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( 5 \right )\ =\ 5-1\ =\ 4$ (genap)
Jadi, $x\ =\ 5$ bukan solusi lantaran $\left ( -1 \right )^{13}\ \neq\ \left ( -1 \right )^{4}$
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( 5 \right )\ =\ 2\left ( 5 \right )+3\ =\ 13$ (ganjil)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( 5 \right )\ =\ 5-1\ =\ 4$ (genap)
Jadi, $x\ =\ 5$ bukan solusi lantaran $\left ( -1 \right )^{13}\ \neq\ \left ( -1 \right )^{4}$
Untuk $x\ =\ 4$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( 4 \right )\ =\ 2\left ( 4 \right )+3\ =\ 11$ (ganjil)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( 4 \right )\ =\ 4-1\ =\ 3$ (ganjil)
Jadi, $x\ =\ 4$ ialah solusi lantaran $\left ( -1 \right )^{11}\ \neq\ \left ( -1 \right )^{3}$
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( 4 \right )\ =\ 2\left ( 4 \right )+3\ =\ 11$ (ganjil)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( 4 \right )\ =\ 4-1\ =\ 3$ (ganjil)
Jadi, $x\ =\ 4$ ialah solusi lantaran $\left ( -1 \right )^{11}\ \neq\ \left ( -1 \right )^{3}$
d. $h\left ( x \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-9x+19\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}\ atau\ x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$
Gunakan rumus abc
Kedua nilai $x$ ini juga mesti diuji dengan mensubstitusikan ke dalam $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$
Kedua nilai $x$ ini juga mesti diuji dengan mensubstitusikan ke dalam $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$
Untuk $x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ 2\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )+3$ (positif)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ \left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )-1$ (positif)
Jadi, $x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}$ ialah solusi
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ 2\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )+3$ (positif)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ \left ( \frac{9+\sqrt{5}}{2} \right )-1$ (positif)
Jadi, $x\ =\ \frac{9+\sqrt{5}}{2}$ ialah solusi
Untuk $x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$ didapat:
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ 2\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )+3$ (positif)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ \left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )-1$ (positif)
Jadi, $x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$ ialah solusi
$f\left ( x \right )\ =\ 2x+3\ \Leftrightarrow\ f\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ 2\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )+3$ (positif)
$g\left ( x \right )\ =\ x-1\ \Leftrightarrow\ g\left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )\ =\ \left ( \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right )-1$ (positif)
Jadi, $x\ =\ \frac{9-\sqrt{5}}{2}$ ialah solusi
Dari a, b, c, dan d, maka himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ -4,\ 3,\ 4,\ 6,\ \frac{9+\sqrt{5}}{2},\ \frac{9-\sqrt{5}}{2} \right \}$
Persamaan eksponen berupa $A\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )^{2}\ +\ B\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )\ +\ C\ =\ 0$
Himpunan solusi dari persamaan eksponen $A\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )^{2}\ +\ B\left ( a^{f\left ( x \right )} \right )\ +\ C\ =\ 0$, dimana $a\ >\ 0$ dan $a\ \neq\ 1$, sanggup diputuskan dengan merubah persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan kuadrat.
Contoh
Tentukan himpunan solusi dari persamaan eksponen berikut.
$5^{4x-3}\ +\ 25^{3-2x}\ =\ 30$
$5^{4x-3}\ +\ 25^{3-2x}\ =\ 30$
Jawab
$5^{4x-3}\ +\ 25^{3-2x}\ =\ 30\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ \left ( 5^{2} \right )^{3-2x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{6-4x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{3+3-4x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{3}\ .\ 5^{3-4x}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ 5^{4x-3}\ +\ 5^{3}\ .\ 5^{-\left ( 4x-3 \right )}\ -\ 30\ =\ 0\\$
Misalkan $5^{4x-3}\ =\ p$, maka persamaan tersebut menjadi:
$\Leftrightarrow\ p\ +\ 5^{3}\ .\ p^{-1}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ +\ 125\ .\ \frac{1}{p}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ +\ \frac{125}{p}\ -\ 30\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ +\ 125\ -\ 30p\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ -\ 30p\ +\ 125\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( p-25 \right )\left ( p-5 \right )\ =\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ =\ 25\ atau\ p\ =\ 5$
Untuk $p\ =\ 25$ didapat:
$5^{4x-3}\ =\ 25\\ 5^{4x-3}\ =\ 5^{2}\\ \Leftrightarrow\ 4x-3\ =\ 2\\ \Leftrightarrow\ 4x\ =\ 5\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ \frac{5}{4}$
$5^{4x-3}\ =\ 25\\ 5^{4x-3}\ =\ 5^{2}\\ \Leftrightarrow\ 4x-3\ =\ 2\\ \Leftrightarrow\ 4x\ =\ 5\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ \frac{5}{4}$
Untuk $p\ =\ 5$ didapat:
$5^{4x-3}\ =\ 5\\ \Leftrightarrow\ 4x-3\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ 4x\ =\ 4\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 1$
$5^{4x-3}\ =\ 5\\ \Leftrightarrow\ 4x-3\ =\ 1\\ \Leftrightarrow\ 4x\ =\ 4\\ \Leftrightarrow\ x\ =\ 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{1,\ \frac{5}{4} \right \}$
Fungsi Eksponen
Pengertian Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen $f$ dengan bilangan pokok $a$ yakni fungsi yang didefinisikan $f:x\ \rightarrow\ a^{x}$ dengan $𝑎\ >\ 0$, $a\ \neq\ 1$ dan $x\ \in\ R$ (himpunan bilangan real). Fungsi ini memetakan setiap bilangan real $x$ dengan tunggal ke bilangan real positif $a^{x}$.
Fungsi eksponen $f:x\ \rightarrow\ a^{x}$ dinyatakan dalam bentuk $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$. Sedangkan persamaan fungsi eksponen dinyatakan dalam $y\ =\ a^{x}$, dengan wilayah asal (domain) dari $f$ yakni $D_{f}\ =\ \left \{ x\mid\ -\infty < x< +\infty ,\ x\in R \right \}$ dan wilayah hasil (range) dari $f$ yakni $R_{f}\ =\ \left \{ y\ \mid\ y> 0,\ y\in R \right \}$.
Grafik Fungsi Eksponen
Sifat-sifat fungsi eksponen $f:x\ \rightarrow\ a^{x}$ sanggup diputuskan lewat grafik fungsi eksponen. Berikut ini akan digambarkan grafik fungsi eksponen.
Grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$ atau $y\ =\ a^{x}$, dengan basis $a\ >\ 1$
Cara menggambar grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$, $a\ >\ 1$ akan diperlihatkan pada teladan berikut.
Contoh
Gambarkanlah grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x},\ x\ \in\ R$
Jawab
Untuk membuktikan grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x}$, sanggup diambil beberapa titik penting, yakni nilai $x$, sehingga nilai $y$ mudah diputuskan menyerupai tabel berikut.
| $x$ | $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x}$ |
|---|---|
| ... | ... |
| $-3$ | $\frac{1}{8}$ |
| $-2$ | $\frac{1}{4}$ |
| $-1$ | $\frac{1}{2}$ |
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $2$ |
| $2$ | $4$ |
| $3$ | $8$ |
| ... | ... |
Tampak pada grafik bahwa fungsi $f\left ( x \right )\ =\ 2^{x},\ x\ \in\ R$ ialah fungsi naik monoton, lantaran untuk $x_{2}\ >\ x_{1}$, maka $a^{x_{2}}\ >\ a^{x_{1}}$. Sehingga fungsi eksponen $f\left ( x \right )\ =\ a^{x},\ a\ >\ 1$ akan kian besar nilainya jikalau nilai peubah $x$ makin besar (naik monoton).
Grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$ atau $y\ =\ a^{x}$, dengan basis $0\ <\ a\ <\ 1$
Cara menggambar grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$, $0\ <\ a\ <\ 1$ akan diperlihatkan pada teladan berikut.
Contoh
Gambarkanlah grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x},\ x\ \in\ R$
Jawab
Untuk membuktikan grafik fungsi $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x}$,dapat diambil beberapa titik yang memamerkan hubungan $x$ dengan $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x}$.
| $x$ | $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x}$ |
|---|---|
| ... | ... |
| $-3$ | $8$ |
| $-2$ | $4$ |
| $-1$ | $2$ |
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $\frac{1}{2}$ |
| $2$ | $\frac{1}{4}$ |
| $3$ | $\frac{1}{8}$ |
| ... | ... |
Tampak pada grafik bahwa fungsi $f\left ( x \right )\ =\ \frac{1}{2}^{x},\ x\ \in\ R$ ialah fungsi turun monoton, lantaran untuk $x_{2}\ >\ x_{1}$, maka $a^{x_{2}}\ <\ a^{x_{1}}$. Sehingga fungsi eksponen $f\left ( x \right )\ =\ a^{x},\ 0\ <\ a\ <\ 1$ akan kian kecil nilainya jikalau nilai variabel $x$ makin besar (turun monoton).
Pertidaksamaan Eksponen
Dari pembahasan grafik fungsi eksponen $f\left ( x \right )\ =\ a^{x}$, diperoleh sifat yang sanggup digunakan untuk mengakhiri pertidaksamaan eksponen selaku berikut.
1. Untuk $a\ >\ 1$, jikalau $x_{2}\ >\ x_{1}$ maka $a^{x_{2}}\ >\ a^{x_{1}}$ atau sebaliknya jikalau $a^{x_{2}}\ >\ a^{x_{1}}$ maka $x_{2}\ >\ x_{1}$
2. Untuk $0< a< 1$ jikalau $x_{2}\ >\ x_{1}$ maka $a^{x_{2}}\ <\ a^{x_{1}}$ atau sebaliknya jikalau $a^{x_{2}}\ <\ a^{x_{1}}$ maka $x_{2}\ >\ x_{1}$
Dalam pertidaksamaan eksponen sifat tersebut sanggup dinyatakan selaku berikut.
1. Jika $a\ >\ 1$, maka:
* $a^{g\left ( x \right )}\ \geq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \geq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \leq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \leq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \geq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \geq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \leq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \leq\ h\left ( x \right )$
2. Jika $0\ <\ a\ <\ 1$, maka:
* $a^{g\left ( x \right )}\ \geq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \leq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \leq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \geq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \geq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \leq\ h\left ( x \right )$
* $a^{g\left ( x \right )}\ \leq\ a^{h\left ( x \right )}$ jikalau dan cuma jikalau $g\left ( x \right )\ \geq\ h\left ( x \right )$
Contoh1
Tentukan himpunan solusi dari pertidaksamaan eksponen berikut ini.
a. $4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 16$
b. $2^{x}\ >\ 32^{x-1}$
c. $3^{2x+1}\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2$
a. $4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 16$
b. $2^{x}\ >\ 32^{x-1}$
c. $3^{2x+1}\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2$
Jawab
a. $4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 16$
$\Leftrightarrow\ 4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 4^{2}\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+4x-3\ <\ 2\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+4x-5\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+5 \right )\left ( x-1 \right )\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ -5< x< 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid -5< x< 1,\ x\in R \right \}$
$\Leftrightarrow\ 4^{x^{2}+4x-3}\ <\ 4^{2}\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+4x-3\ <\ 2\\ \Leftrightarrow\ x^{2}+4x-5\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( x+5 \right )\left ( x-1 \right )\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ -5< x< 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid -5< x< 1,\ x\in R \right \}$
b. $2^{x}\ >\ 32^{x-1}$
$\Leftrightarrow\ 2^{x}\ >\ \left ( 2^{5} \right )^{x-1}\\ \Leftrightarrow\ 2^{x}\ >\ 2^{5x-5}\\ \Leftrightarrow\ x\ >\ 5x-5\\ \Leftrightarrow\ -4x\ >\ -5\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ \frac{5}{4}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x< \frac{5}{4},\ x\in R \right \}$
$\Leftrightarrow\ 2^{x}\ >\ \left ( 2^{5} \right )^{x-1}\\ \Leftrightarrow\ 2^{x}\ >\ 2^{5x-5}\\ \Leftrightarrow\ x\ >\ 5x-5\\ \Leftrightarrow\ -4x\ >\ -5\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ \frac{5}{4}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x< \frac{5}{4},\ x\in R \right \}$
c. $3^{2x+1}\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2$
$\Leftrightarrow\ 3^{2x}\ .\ 3\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x}\ .\ 3\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ -\ 2\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ 3p^{2}\ +\ 5p\ -\ 2\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( 3p-1 \right )\left ( p+2 \right )\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ <\ -2\ atau\ p\ >\ \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow\ 3^{2x}\ .\ 3\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ >\ 2\\ \Leftrightarrow\ 3^{2x}\ .\ 3\ +\ 5\ .\ 3^{x}\ -\ 2\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ 3p^{2}\ +\ 5p\ -\ 2\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( 3p-1 \right )\left ( p+2 \right )\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ <\ -2\ atau\ p\ >\ \frac{1}{3}$
* $p\ <\ -2$ (tidak memenuhi, alasannya $3^{x}\ >\ 0$)
* $p\ >\ \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow\ 3^{x}\ >\ \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow\ 3^{x}\ >\ 3^{-1}\\ \Leftrightarrow\ x\ >\ -1$
$\Leftrightarrow\ 3^{x}\ >\ \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow\ 3^{x}\ >\ 3^{-1}\\ \Leftrightarrow\ x\ >\ -1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x\ >\ -1,\ x\in R \right \}$
Contoh2
Tentukan himpunan solusi dari pertidaksamaan eksponen berikut ini
a. $\left ( \frac{1}{25} \right )^{x+2}\ <\ \left ( \frac{1}{125} \right )^{x-3}$
b. $\left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{9} \right )^{x}$
c. $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1} >\ 8$
a. $\left ( \frac{1}{25} \right )^{x+2}\ <\ \left ( \frac{1}{125} \right )^{x-3}$
b. $\left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{9} \right )^{x}$
c. $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1} >\ 8$
Jawab
a. $\left ( \frac{1}{25} \right )^{x+2}\ <\ \left ( \frac{1}{125} \right )^{x-3}$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{5} \right )^{2\left ( x+2 \right )}\ <\ \left ( \frac{1}{5} \right )^{3\left ( x-3 \right )}\\ \Leftrightarrow\ 2x+4\ >\ 3x-9\\ \Leftrightarrow\ -x\ >\ -13\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ 13$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x\ <\ 13,\ x\in R \right \}$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{5} \right )^{2\left ( x+2 \right )}\ <\ \left ( \frac{1}{5} \right )^{3\left ( x-3 \right )}\\ \Leftrightarrow\ 2x+4\ >\ 3x-9\\ \Leftrightarrow\ -x\ >\ -13\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ 13$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x\ <\ 13,\ x\in R \right \}$
b. $\left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{9} \right )^{x}$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x}\\ \Leftrightarrow\ 9x-x^{2}\ <\ 2x\\ \Leftrightarrow\ -x^{2}+9x-2x\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ -x^{2}+7x\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-7x\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\left ( x-7 \right )>\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ 0\ atau\ x\ >\ 7$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x\ <\ 0\ atau\ x\ >\ 7,\ x\in R \right \}$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{9x-x^{2}}\ >\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{2x}\\ \Leftrightarrow\ 9x-x^{2}\ <\ 2x\\ \Leftrightarrow\ -x^{2}+9x-2x\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ -x^{2}+7x\ <\ 0\\ \Leftrightarrow\ x^{2}-7x\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\left ( x-7 \right )>\ 0\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ 0\ atau\ x\ >\ 7$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x\ <\ 0\ atau\ x\ >\ 7,\ x\in R \right \}$
c. $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1} >\ 8$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ .\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{-1}\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ .\ 2\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ -\ 2p\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( p-4 \right )\left ( p+2 \right )\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ <\ -2\ atau\ p\ >\ 4$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ .\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{-1}\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{2x}\ -\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ .\ 2\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p^{2}\ -\ 2p\ -\ 8\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ \left ( p-4 \right )\left ( p+2 \right )\ >\ 0\\ \Leftrightarrow\ p\ <\ -2\ atau\ p\ >\ 4$
* $p\ <\ -2$ (tidak memenuhi, alasannya $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ 0$)
* $p\ >\ 4$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ 4\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ -2$
$\Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ 4\\ \Leftrightarrow\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ >\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}\\ \Leftrightarrow\ x\ <\ -2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\mid x\ <\ -2,\ x\in R \right \}$
Demikian bahan wacana persamaan, fungsi dan pertidaksamaan eksponen, biar bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu